Vetor Conjunto

#109

Primeira definição

Seja E um con­jun­to escalar.

Defi­ni­mos pri­mei­ro E^0 = \empty.

E então \vec{E}\leftarrow\displaystyle\sum_{i\in\N} E^i (lê-se \vec{E}:=\displaystyle\underset{i\in\N}{\cup} E^i) como o con­jun­to-vetor de E.

Temos que

\begin{aligned}
    \vec{E} &= \displaystyle\sum_{i\in\N} E^i\\
    &= E^0+E^1+E^2+\cdots\\
    &=\empty+E+E^2+\cdots
\end{aligned}

Por exem­plo, \vec{\N}:

\begin{aligned}
    \vec{\N} &= \displaystyle\sum_{i\in\N} \N^i\\
    &= \N^0 + \N^1+\N^2+\cdots\\
    &= \empty + \N + \N^2 + \cdots
\end{aligned}

\therefore\vec{\N}\supset\N^i\;\forall i\in\N

Definições de Matrizes

Os con­jun­tos das matri­zes de esca­lar E per­ten­cem ao con­jun­to \left[\vec{\mathbb{E}}\right]^2.

\begin{aligned}
    \vec{E}\times\vec{E} &= \left[\vec{E}\right]^2\\
    &= \left[\displaystyle\sum_{i\in\N} E^i\right]^2\\
    &= \left[E^0+E^1+E^2+\cdots\right]^2\\
    &= \left[E^0+E^1+E^2+\cdots\right]\times\vec{E}\\
    &= E^0\times\vec{E} + E^1\times\vec{E}+\cdots\\
    &= E^0\times\left[E^0+E^1+\cdots\right]+E^1\times\left[E^0+E^1+\cdots\right]+\cdots\\
    &= \left[E^0+E^1+\cdots\right]+\left[E^1+E^{|1;1|}+E^{|1; 2|}+\cdots\right]+\cdots\\
\end{aligned}\\
\therefore \left[\vec{E}\right]^2\supset M_{m\times n}\circ E\;\forall m, n\in\N

A exem­plo, um con­jun­to de matri­zes com \R como esca­lar. Sejam m, n\in\N:

M_{n\times m}\circ\R
= \R^{|m;\, n|}
= \left[\R^m\right]^n
\R^m\subset\vec{\R}\;\forall n
\text{ e }
\R^{|m;\,n|}\subset\left[\vec{\R}\right]^2

Números indexados

Como esca­la­res (ten­so­res de ran­que 0) per­ten­cem a E, veto­res (ten­so­res de ran­que 1) per­ten­cem a \vec{E} e matri­zes (ten­so­res de ran­que 2) per­ten­cem a \left[\vec{E}\right]^2, então pode­mos dizer que ten­so­res de ran­que n per­ten­cem a \left[\vec{E}\right]^n, e que todos os ten­so­res que pos­su­am E como esca­lar, estão con­ti­dos em \vec{\vec{E}}.

Próximo passo

\vec{\vec{E}}\leftarrow\displaystyle\sum_{i\in\N} \vec{E}^i