Primeira definição
Seja E
um conjunto escalar.
Definimos primeiro E^0 = \empty
.
E então \vec{E}\leftarrow\displaystyle\sum_{i\in\N} E^i
(lê-se \vec{E}:=\displaystyle\underset{i\in\N}{\cup} E^i
) como o conjunto-vetor de E
.
Temos que
\begin{aligned}
\vec{E} &= \displaystyle\sum_{i\in\N} E^i\\
&= E^0+E^1+E^2+\cdots\\
&=\empty+E+E^2+\cdots
\end{aligned}
Por exemplo, \vec{\N}
:
\begin{aligned}
\vec{\N} &= \displaystyle\sum_{i\in\N} \N^i\\
&= \N^0 + \N^1+\N^2+\cdots\\
&= \empty + \N + \N^2 + \cdots
\end{aligned}
\therefore\vec{\N}\supset\N^i\;\forall i\in\N
Definições de Matrizes
Os conjuntos das matrizes de escalar E
pertencem ao conjunto \left[\vec{\mathbb{E}}\right]^2
.
\begin{aligned}
\vec{E}\times\vec{E} &= \left[\vec{E}\right]^2\\
&= \left[\displaystyle\sum_{i\in\N} E^i\right]^2\\
&= \left[E^0+E^1+E^2+\cdots\right]^2\\
&= \left[E^0+E^1+E^2+\cdots\right]\times\vec{E}\\
&= E^0\times\vec{E} + E^1\times\vec{E}+\cdots\\
&= E^0\times\left[E^0+E^1+\cdots\right]+E^1\times\left[E^0+E^1+\cdots\right]+\cdots\\
&= \left[E^0+E^1+\cdots\right]+\left[E^1+E^{|1;1|}+E^{|1; 2|}+\cdots\right]+\cdots\\
\end{aligned}\\
\therefore \left[\vec{E}\right]^2\supset M_{m\times n}\circ E\;\forall m, n\in\N
A exemplo, um conjunto de matrizes com \R
como escalar. Sejam m, n\in\N:
M_{n\times m}\circ\R
= \R^{|m;\, n|}
= \left[\R^m\right]^n
\R^m\subset\vec{\R}\;\forall n
\text{ e }
\R^{|m;\,n|}\subset\left[\vec{\R}\right]^2
Números indexados
Como escalares (tensores de ranque 0) pertencem a E
, vetores (tensores de ranque 1) pertencem a \vec{E}
e matrizes (tensores de ranque 2) pertencem a \left[\vec{E}\right]^2
, então podemos dizer que tensores de ranque n
pertencem a \left[\vec{E}\right]^n
, e que todos os tensores que possuam E
como escalar, estão contidos em \vec{\vec{E}}
.
Próximo passo
\vec{\vec{E}}\leftarrow\displaystyle\sum_{i\in\N} \vec{E}^i