A sequência de Recamán, OEIS A005132, é a sequência que segue a regra:
a_n =
\begin{Bmatrix}
\begin{matrix}
\text{se }a_{n-1} - n > 0\\
\text{e ainda não apareceu}:
\end{matrix}&a_{n-1} - n\\
\text{senão}:&a_{n-1} + n
\end{Bmatrix}
Bem, uma imagem pode esclarecer melhor as coisas:
Para a extensão da sequência, algumas regras seguem:
-
A variação (mudança por n) será, não no valor de alguma posição do número vetorial (n‑upla) atual, mas em seu módulo.
-
A restrição não será
a_n\in\mathbb{Z_+}=\mathbb{N}
e sim
a_n\in\mathbb{N}^n
-
Como “ ‘n“ ‘ continuará sendo um número natural, teremos que “ ‘a“ ‘ por não ser mais um real, não possui mais coisa como “sinal”, e sim “ângulo”, o que será, de fato, variado conforme regras e restrições
Diferentes espaços
Vale ressaltar que, como a alteração de “ ‘a“ ‘ é em seu módulo, é necessário que o espaço vetorial utilizado na estensão da sequência possa ter uma relação bijetora (reversível) com um espaço vetorial que trate os números vetoriais (n‑uplas) com relação à seus módulos, como o n‑espaço polar.
Espaço Manhatan
Def…
Assim,
\mathbb{R}^n = \mathbb{M}^n
\vec{x}\in\mathbb{R}^n\rightleftharpoons (r, \vec{\theta})\in\mathbb{R}\times \left([0; \pi[\right)^{n-1}
Lembrando que:
n = 2:
\begin{Bmatrix}
r&=&x + y\\\\
\tan\theta&=&\dfrac{y}{x} = \dfrac{\sin}{\cos} = \dfrac{y/r}{x/r}\\\\
\theta&=&\tan\circ^{-1}\left(\dfrac{y}{x}\right)
\end{Bmatrix}
Segue:
\begin{matrix}
\sin\theta&=&\dfrac{y}{r}&=&\dfrac{y}{x + y}\\\\
\cos\theta&=&\dfrac{x}{r}&=&\dfrac{x}{x + y}\\\\
\csc\theta&=&\dfrac{r}{y}&=&\dfrac{x + y}{y}&=&1 + \dfrac{x}{y}\\\\
\sec\theta&=&\dfrac{r}{x}&=&\dfrac{x + y}{x}&=&1 + \dfrac{y}{x}
\end{matrix}
O que altera as propriedades para:
\begin{matrix}
\sin+\cos = 1\\
\sec = 1 + \tan\\
\csc = 1 + \ctg
\end{matrix}
r = \displaystyle\sum_i x_i
Exemplos
Tabela de módulos em “ ‘n = 2“ ‘:
\begin{matrix}
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\\
9&10&11&12&13&14&15&\ddots\\
8&9&10&11&12&13&14&15&\ddots\\
7&8&9&10&11&12&13&14&15&\ddots\\
6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&\ddots\\
5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&\cdots\\
4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&\cdots\\
3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&\cdots\\
2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&\cdots\\
1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&\cdots\\
0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&\cdots
\end{matrix}
Tabela “ ‘a(n)“ ‘ caso “ ‘t = 45º“ ‘:
\begin{matrix}
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\\
9&10&11&12&13&14&15&\ddots\\
8&9&10&11&12&13&14&15&\ddots\\
7&8&9&10&11&12&13&14&15&\ddots\\
6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&\ddots\\
5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&\cdots\\
4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&\cdots\\
3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&\cdots\\
2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&\cdots\\
1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&\cdots\\
a_0&a_1&2&3&4&5&6&7&8&9&\cdots
\end{matrix}
- ee
- ee
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