Estendendo a sequência de Recamán para um espaço vetorial

#87

A sequên­cia de Reca­mán, OEIS A005132, é a sequên­cia que segue a regra:

a_n =
\begin{Bmatrix}
\begin{matrix}
\text{se }a_{n-1} - n > 0\\
\text{e ainda não apareceu}:
\end{matrix}&a_{n-1} - n\\
\text{senão}:&a_{n-1} + n
\end{Bmatrix}

Bem, uma ima­gem pode escla­re­cer melhor as coisas:

Recamán

Para a exten­são da sequên­cia, algu­mas regras seguem:

  1. A vari­a­ção (mudan­ça por n) será, não no valor de algu­ma posi­ção do núme­ro veto­ri­al (n‑upla) atu­al, mas em seu módulo.

  2. A res­tri­ção não será

    a_n\in\mathbb{Z_+}=\mathbb{N}

    e sim

    a_n\in\mathbb{N}^n
  3. Como “ ‘n“ ‘ con­ti­nu­a­rá sen­do um núme­ro natu­ral, tere­mos que “ ‘a“ ‘ por não ser mais um real, não pos­sui mais coi­sa como “sinal”, e sim “ângu­lo”, o que será, de fato, vari­a­do con­for­me regras e restrições

Diferentes espaços

Vale res­sal­tar que, como a alte­ra­ção de “ ‘a“ ‘ é em seu módu­lo, é neces­sá­rio que o espa­ço veto­ri­al uti­li­za­do na esten­são da sequên­cia pos­sa ter uma rela­ção bije­to­ra (rever­sí­vel) com um espa­ço veto­ri­al que tra­te os núme­ros veto­ri­ais (n‑uplas) com rela­ção à seus módu­los, como o n‑espaço polar.

Espaço Manhatan

Def…
Assim,

\mathbb{R}^n = \mathbb{M}^n
\vec{x}\in\mathbb{R}^n\rightleftharpoons (r, \vec{\theta})\in\mathbb{R}\times \left([0; \pi[\right)^{n-1}

Lem­bran­do que:

n = 2:

\begin{Bmatrix}
r&=&x + y\\\\
\tan\theta&=&\dfrac{y}{x} = \dfrac{\sin}{\cos} = \dfrac{y/r}{x/r}\\\\
\theta&=&\tan\circ^{-1}\left(\dfrac{y}{x}\right)
\end{Bmatrix}

Segue:

\begin{matrix}
\sin\theta&=&\dfrac{y}{r}&=&\dfrac{y}{x + y}\\\\
\cos\theta&=&\dfrac{x}{r}&=&\dfrac{x}{x + y}\\\\
\csc\theta&=&\dfrac{r}{y}&=&\dfrac{x + y}{y}&=&1 + \dfrac{x}{y}\\\\
\sec\theta&=&\dfrac{r}{x}&=&\dfrac{x + y}{x}&=&1 + \dfrac{y}{x}
\end{matrix}

O que alte­ra as pro­pri­e­da­des para:

\begin{matrix}
\sin+\cos = 1\\
\sec = 1 + \tan\\
\csc = 1 + \ctg
\end{matrix}
r = \displaystyle\sum_i x_i

Exemplos

Tabe­la de módu­los em “ ‘n = 2“ ‘:

\begin{matrix}
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\\
9&10&11&12&13&14&15&\ddots\\
8&9&10&11&12&13&14&15&\ddots\\
7&8&9&10&11&12&13&14&15&\ddots\\
6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&\ddots\\
5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&\cdots\\
4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&\cdots\\
3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&\cdots\\
2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&\cdots\\
1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&\cdots\\
0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&\cdots
\end{matrix}

Tabe­la “ ‘a(n)“ ‘ caso “ ‘t = 45º“ ‘:

\begin{matrix}
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\\
9&10&11&12&13&14&15&\ddots\\
8&9&10&11&12&13&14&15&\ddots\\
7&8&9&10&11&12&13&14&15&\ddots\\
6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&\ddots\\
5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&\cdots\\
4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&\cdots\\
3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&\cdots\\
2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&\cdots\\
1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&\cdots\\
a_0&a_1&2&3&4&5&6&7&8&9&\cdots
\end{matrix}
  1. ee
  2. ee
  3. ee
  4. ee
  5. ee
  6. ee
  7. ee
  8. ee
  9. ee
  10. ee
  11. ee
  12. ee
  13. ee
  14. ee
  15. ee
  16. ee
  17. ee
  18. ee
  19. ee
  20. ee
  21. ee