Nesta publicação, objetivo definir um espaço vetorial para
dimensões, mas que possua propriedades similares ao espaço vetorial complexo, como as seguintes:n
-
Transformação para forma polar:
(a, b)\in\mathbb{C}\rightleftharpoons (r, \theta)\in\mathbb{R_+}\times [0; 2\pi[
-
Multiplicação Polar:
\begin{matrix} z_1 = (r_1,\;\theta_1),\\ z_2 = (r_2,\;\theta_2):\\ z_1z_2 = (r_1r_2,\;\theta_1 + \theta_2) \end{matrix}
Outra habilidade desejada são duas operações (unitárias ou binárias) para mudança de dimensões do vetor, redução e expansão de dimensões, do número de coordenadas.
Comecemos com a definição convencionada de conversão Cartesiano-Polar:
\mathbb{R}^n\rightleftharpoons\mathbb{R_+}\times [0; 2\pi[\times \left([0;\pi[\right)^{n - 2}
Na versão completa, temos:
\begin{matrix}
\vec{x}\in\mathbb{R}^n&
\rightleftharpoons&
(r, \vec{\theta})\in\mathbb{R_+}\times [0; 2\pi[\times \left([0;\pi[\right)^{n - 2}
\end{matrix}
A exemplos:
\begin{matrix}
(x, y)\in\mathbb{R}^2
&\rightleftharpoons
&(r, \theta)\in\mathbb{R_+}\times [0; 2\pi[
\\(x, y, z)\in\mathbb{R}^3
&\rightleftharpoons
&(\rho, \theta, \phi)\in\mathbb{R_+}\times [0;2\pi[\times [0;\pi[
\end{matrix}
Algo que me incomoda é que a regra convencionada não parece uma regra natural, e sim adaptada. Não parece deffinir a conversão para
dimensões, mas sim definir um plano polar e então expandir a partir deste.n
Uma regra com aparência mais geral, e que não demonstra relatividade à um plano polar, apenas à n‑esfera, segue:
\begin{matrix}
\vec{x}\in\mathbb{R}^n&
\rightleftharpoons&
(r, \vec{\theta})\in\mathbb{R}\times \left([0; \pi[\right)^{n-1}
\end{matrix}
Comparando as funções de ambas as regras
…
Começando a definir o espaço vetorial
] z = (r; \theta)\in\mathbb{C},r<0\land q = |r|:\\
\begin{matrix}
\sqrt{z}&=\\
\sqrt{(r; \theta)}&=\\
(\sqrt{r}; {\theta\over 2})&=\\
(\sqrt{-q}; {\theta\over 2})&=\\
(\pm(\sqrt{q}; 90^{\circ}); {\theta\over 2})&=\\
(\pm(\sqrt{q}; {\pi\over 2}); {\theta\over 2})
\end{matrix}
Coloquemos os elementos da nova n‑upla que surgiu a partir da raiz de
na n‑upla original:-r
\begin{matrix}
\sqrt{z}&=\\
(\pm(\sqrt{q}; {\pi\over 2}); {\theta\over 2})&=\\
(\pm\sqrt{q}; {\theta\over 2}; {\pi\over 2})
\end{matrix}
Para retornar ao valor original, façamos:
\begin{matrix}
\sqrt{z}^2&=\\\\
(\pm\sqrt{q}; {\theta\over 2}; {\pi\over 2})^2&=\\\\
((\pm\sqrt{q})^2; 2{\theta\over 2}; 2{\pi\over 2})&=\\\\
((\pm1)^2(\sqrt{q})^2; \theta; \pi)&=\\\\
(q; \theta; \pi)&=\\\\
(-q; \theta; 0)&=\\\\
(-q; \theta)&=\\\\
z
\end{matrix}
Observa-se que a criação intermediária, representada por uma tripla (3‑upla), que na verdade trata-se de dois números com raios opostos, é uma nova existência. Criada a partir de um Complexo, não é nem Complexo, nem um número reduzido (Real), mas sim uma expansão, uma criação com uma dimensão a mais.
Observa-se que esta criação também já vem com uma operação de expansão numérica, a já utilizada para se atingir os Imaginários, a radiciação de um número de módulo negativo. Há também uma suposta operação de redução, visto que números cujo último valor ângular é 0, podem ter este valor omitido. Isto pode se demonstrar útil na falta de operações para a alteração da quantidade de dimensões (expansão e redução).
Por ter sido gerado dos Complexos, este novo tipo de número possui as mesmas propriedades multiplicativas:
\begin{matrix}
]\;a = (r_a, \vec{\theta}_a),\,b = (r_b, \vec{\theta}_b):
\end{matrix}\\
ab = (r_ar_b, \vec{\theta}_a + \vec{\theta}_b) = (r_{ab}, \vec{\theta}_{a + b})
No caso:
\begin{matrix}
]\;z = (-r_z^2, \theta_z);\,w = (-r_w^2, \theta_w)\in\mathbb{C_{,-}};\\
r_z, r_w, \alpha\in\mathbb{R}; \beta = (r_{\beta}, \theta_{\beta}) \in\mathbb{C}:
\end{matrix}\\
\begin{matrix}
\sqrt{z}&=&
(\sqrt{-r_z^2}, {\theta_z\over 2})&=&
(\pm r_z, {\theta_z\over 2}, {\pi\over 2})\\
\sqrt{w}&=&&&
(\pm r_w, {\theta_w\over 2}, {\pi\over 2})
\end{matrix}\\
\begin{matrix}
\alpha\sqrt{z}&=\\
\alpha(\pm r_z, {\theta\over 2}, {\pi\over 2})&=\\
\alpha((\pm r_z, {\pi\over 2}), {\theta\over 2})&=\\
(\alpha(\pm r_z, {\pi\over 2}), {\theta\over 2})&=\\
((\pm \alpha r_z, {\pi\over 2}), {\theta\over 2})&=\\
(\pm \alpha r_z, {\theta\over 2}, {\pi\over 2})&=\\\\
\beta\sqrt{z}&=\\
\beta(\pm r_z, {\theta\over 2}, {\pi\over 2})&=\\
\beta((\pm r_z, {\pi\over 2}), {\theta\over 2})&=\\
(r_{\beta}, \theta_{\beta})((\pm r_z, {\pi\over 2}), {\theta\over 2})&=\\
(r_{\beta}(\pm r_z, {\pi\over 2}), {\theta\over 2} + \theta_{\beta})&=\\
((\pm r_{\beta} r_z, {\pi\over 2}), {\theta\over 2} + \theta_{\beta})&=\\
(\pm r_{\beta} r_z, {\theta\over 2} + \theta_{\beta}, {\pi\over 2})&=\\
\end{matrix}
O corolário é que, dado m espaço vetorial n‑dimensional construído desta forma, as propriedades multiplicativas entre números de dimensões diferentes, apenas assume-se que a dimensão não apresentada é de valor zero.
\begin{matrix}
\sqrt{zw}&=\\
\sqrt{(-r_z^2, \theta_z)(-r_w^2, \theta_w)}&=\\
\sqrt{((-r_z^2) (-r_w)^2, \theta_z + \theta_w)}&=\\
\sqrt{(r_z^2 r_w^2, \theta_z + \theta_w)}&=\\
(\sqrt{r_z^2 r_w^2}, {\theta_z + \theta_w\over 2})&=\\
(\pm r_z r_w, {\theta_z + \theta_w\over 2})\\
\\
\sqrt{z}\sqrt{w}&=\\
(\pm r_z, {\theta_z\over 2}, {\pi\over 2})(\pm r_w, {\theta_w\over 2}, {\pi\over 2})&=\\
((\pm r_z)(\pm r_w), {\theta_z + \theta_w\over 2}, 2{\pi\over 2})&=\\
(\pm r_z r_w, {\theta_z + \theta_w\over 2}, \pi)&=\\
(\mp r_z r_w, {\theta_z + \theta_w\over 2}, 0)&=\\
(\mp r_z r_w, {\theta_z + \theta_w\over 2})&=\\
\sqrt{zw}
\end{matrix}