Como desenvolver um espaço vetorial similar aos complexos (Pã-Complexos)

Nes­ta publi­ca­ção, obje­ti­vo defi­nir um espa­ço veto­ri­al para ndimen­sões, mas que pos­sua pro­pri­e­da­des simi­la­res ao espa­ço veto­ri­al com­ple­xo, como as seguintes:

1. Trans­for­ma­ção para for­ma polar:

   (a, b)\in\mathbb{C}\rightleftharpoons (r, \theta)\in\mathbb{R_+}\times [0; 2\pi[

2. Mul­ti­pli­ca­ção Polar:

   \begin{matrix}
   z_1 = (r_1,\;\theta_1),\\
   z_2 = (r_2,\;\theta_2):\\
   z_1z_2 = (r_1r_2,\;\theta_1 + \theta_2)
   \end{matrix}

Outra habi­li­da­de dese­ja­da são duas ope­ra­ções (uni­tá­ri­as ou biná­ri­as) para mudan­ça de dimen­sões do vetor, redu­ção e expan­são de dimen­sões, do núme­ro de coordenadas.

Come­ce­mos com a defi­ni­ção con­ven­ci­o­na­da de con­ver­são Cartesiano-Polar:

\mathbb{R}^n\rightleftharpoons\mathbb{R_+}\times [0; 2\pi[\times \left([0;\pi[\right)^{n - 2}

Na ver­são com­ple­ta, temos:

\begin{matrix}
\vec{x}\in\mathbb{R}^n&
\rightleftharpoons&
(r, \vec{\theta})\in\mathbb{R_+}\times [0; 2\pi[\times \left([0;\pi[\right)^{n - 2}
\end{matrix}

A exem­plos:

\begin{matrix}
(x, y)\in\mathbb{R}^2
&\rightleftharpoons
&(r, \theta)\in\mathbb{R_+}\times [0; 2\pi[
\\(x, y, z)\in\mathbb{R}^3
&\rightleftharpoons
&(\rho, \theta, \phi)\in\mathbb{R_+}\times [0;2\pi[\times [0;\pi[
\end{matrix}

Algo que me inco­mo­da é que a regra con­ven­ci­o­na­da não pare­ce uma regra natu­ral, e sim adap­ta­da. Não pare­ce def­fi­nir a con­ver­são para n dimen­sões, mas sim defi­nir um pla­no polar e então expan­dir a par­tir deste.

Uma regra com apa­rên­cia mais geral, e que não demons­tra rela­ti­vi­da­de à um pla­no polar, ape­nas à n‑esfera, segue:

\begin{matrix}
\vec{x}\in\mathbb{R}^n&
\rightleftharpoons&
(r, \vec{\theta})\in\mathbb{R}\times \left([0; \pi[\right)^{n-1}
\end{matrix}

Comparando as funções de ambas as regras

…

Começando a definir o espaço vetorial

] z = (r; \theta)\in\mathbb{C},r<0\land q = |r|:\\
\begin{matrix}
\sqrt{z}&=\\
\sqrt{(r; \theta)}&=\\
(\sqrt{r}; {\theta\over 2})&=\\
(\sqrt{-q}; {\theta\over 2})&=\\
(\pm(\sqrt{q}; 90^{\circ}); {\theta\over 2})&=\\
(\pm(\sqrt{q}; {\pi\over 2}); {\theta\over 2})
\end{matrix}

Colo­que­mos os ele­men­tos da nova n‑upla que sur­giu a par­tir da raiz de -r na n‑upla original:

\begin{matrix}
\sqrt{z}&=\\
(\pm(\sqrt{q}; {\pi\over 2}); {\theta\over 2})&=\\
(\pm\sqrt{q}; {\theta\over 2}; {\pi\over 2})
\end{matrix}

Para retor­nar ao valor ori­gi­nal, façamos:

\begin{matrix}
\sqrt{z}^2&=\\\\
(\pm\sqrt{q}; {\theta\over 2}; {\pi\over 2})^2&=\\\\
((\pm\sqrt{q})^2; 2{\theta\over 2}; 2{\pi\over 2})&=\\\\
((\pm1)^2(\sqrt{q})^2; \theta; \pi)&=\\\\
(q; \theta; \pi)&=\\\\
(-q; \theta; 0)&=\\\\
(-q; \theta)&=\\\\
z
\end{matrix}

Obser­va-se que a cri­a­ção inter­me­diá­ria, repre­sen­ta­da por uma tri­pla (3‑upla), que na ver­da­de tra­ta-se de dois núme­ros com rai­os opos­tos, é uma nova exis­tên­cia. Cri­a­da a par­tir de um Com­ple­xo, não é nem Com­ple­xo, nem um núme­ro redu­zi­do (Real), mas sim uma expan­são, uma cri­a­ção com uma dimen­são a mais.
Obser­va-se que esta cri­a­ção tam­bém já vem com uma ope­ra­ção de expan­são numé­ri­ca, a já uti­li­za­da para se atin­gir os Ima­gi­ná­ri­os, a radi­ci­a­ção de um núme­ro de módu­lo nega­ti­vo. Há tam­bém uma supos­ta ope­ra­ção de redu­ção, vis­to que núme­ros cujo últi­mo valor ângu­lar é 0, podem ter este valor omi­ti­do. Isto pode se demons­trar útil na fal­ta de ope­ra­ções para a alte­ra­ção da quan­ti­da­de de dimen­sões (expan­são e redução).

Por ter sido gera­do dos Com­ple­xos, este novo tipo de núme­ro pos­sui as mes­mas pro­pri­e­da­des multiplicativas:

\begin{matrix}
]\;a = (r_a, \vec{\theta}_a),\,b = (r_b, \vec{\theta}_b):
\end{matrix}\\
ab = (r_ar_b, \vec{\theta}_a + \vec{\theta}_b) = (r_{ab}, \vec{\theta}_{a + b})

No caso:

\begin{matrix}
]\;z = (-r_z^2, \theta_z);\,w = (-r_w^2, \theta_w)\in\mathbb{C_{,-}};\\
r_z, r_w, \alpha\in\mathbb{R}; \beta = (r_{\beta}, \theta_{\beta}) \in\mathbb{C}:
\end{matrix}\\
\begin{matrix}
\sqrt{z}&=&
(\sqrt{-r_z^2}, {\theta_z\over 2})&=&
(\pm r_z, {\theta_z\over 2}, {\pi\over 2})\\
\sqrt{w}&=&&&
(\pm r_w, {\theta_w\over 2}, {\pi\over 2})
\end{matrix}\\
\begin{matrix}
\alpha\sqrt{z}&=\\
\alpha(\pm r_z, {\theta\over 2}, {\pi\over 2})&=\\
\alpha((\pm r_z, {\pi\over 2}), {\theta\over 2})&=\\
(\alpha(\pm r_z, {\pi\over 2}), {\theta\over 2})&=\\
((\pm \alpha r_z, {\pi\over 2}), {\theta\over 2})&=\\
(\pm \alpha r_z, {\theta\over 2}, {\pi\over 2})&=\\\\
\beta\sqrt{z}&=\\
\beta(\pm r_z, {\theta\over 2}, {\pi\over 2})&=\\
\beta((\pm r_z, {\pi\over 2}), {\theta\over 2})&=\\
(r_{\beta}, \theta_{\beta})((\pm r_z, {\pi\over 2}), {\theta\over 2})&=\\
(r_{\beta}(\pm r_z, {\pi\over 2}), {\theta\over 2} + \theta_{\beta})&=\\
((\pm r_{\beta} r_z, {\pi\over 2}), {\theta\over 2} + \theta_{\beta})&=\\
(\pm r_{\beta} r_z, {\theta\over 2} + \theta_{\beta}, {\pi\over 2})&=\\
\end{matrix}

O coro­lá­rio é que, dado m espa­ço veto­ri­al n‑dimensional cons­truí­do des­ta for­ma, as pro­pri­e­da­des mul­ti­pli­ca­ti­vas entre núme­ros de dimen­sões dife­ren­tes, ape­nas assu­me-se que a dimen­são não apre­sen­ta­da é de valor zero.

\begin{matrix}
\sqrt{zw}&=\\
\sqrt{(-r_z^2, \theta_z)(-r_w^2, \theta_w)}&=\\
\sqrt{((-r_z^2) (-r_w)^2, \theta_z + \theta_w)}&=\\
\sqrt{(r_z^2 r_w^2, \theta_z + \theta_w)}&=\\
(\sqrt{r_z^2 r_w^2}, {\theta_z + \theta_w\over 2})&=\\
(\pm r_z r_w, {\theta_z + \theta_w\over 2})\\
\\
\sqrt{z}\sqrt{w}&=\\
(\pm r_z, {\theta_z\over 2}, {\pi\over 2})(\pm r_w, {\theta_w\over 2}, {\pi\over 2})&=\\
((\pm r_z)(\pm r_w), {\theta_z + \theta_w\over 2}, 2{\pi\over 2})&=\\
(\pm r_z r_w, {\theta_z + \theta_w\over 2}, \pi)&=\\
(\mp r_z r_w, {\theta_z + \theta_w\over 2}, 0)&=\\
(\mp r_z r_w, {\theta_z + \theta_w\over 2})&=\\
\sqrt{zw}
\end{matrix}